sábado, 5 de maio de 2007

OLIMPÍADA DA MATEMÁTICA

A obmep - olimpíada brasileira de matemática- vem aí!



O que é uma Olimpíada de Matemática


A Olimpíada de Matemática pode ser definida como uma competição equivalente às esportivas, como a natação e o futebol, ou como os concursos de literatura e festivais de música. Como qualquer disputa, a Olimpíada também exige preparação específica. O treinamento dos "atletas" de matemática consiste na resolução de problemas de Matemática, individualmente ou em grupo. Eles "treinam" com o objetivo de desenvolver a habilidade lógica, a criatividade e a sociabilidade, bem como métodos adequados de pensamento e de trabalho.
A 3ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP 2007) é uma promoção do Ministério da Educação e do Ministério da Ciência e Tecnologia, em parceria com o Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e com a Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), responsáveis pela Direção Acadêmica.


A 3ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP 2007) é dirigida aos alunos de 5ª à 8ª série (6º e 9º ano) do Ensino Fundamental e aos alunos do Ensino Médio das escolas públicas municipais, estaduais e federais, que concorrem a prêmios de acordo com a sua classificação nas provas. Professores, escolas e municípios dos alunos participantes também concorrem a prêmios
Os alunos participantes da 3ª OBMEP serão divididos em 3 (três) Níveis, de acordo com o seu grau de escolaridade, como a seguir:Nível 1 – alunos matriculados na 5ª ou 6ª série (6º ou 7º ano) do Ensino Fundamental, no ano letivo correspondente ao da realização das provas.Nível 2 – alunos matriculados na 7ª ou 8ª série (8º ou 9º ano) do Ensino Fundamental, no ano letivo correspondente ao da realização das provas.Nível 3 – alunos matriculados em qualquer série do Ensino Médio, no ano letivo correspondente ao da realização das provas.

Calendário OBMEP - 2007

02 de abril
Abertura das inscrições (exclusivamente neste sítio)


18 de maio
Encerramento das inscrições


14 de agosto (terça-feira)
Provas da 1ª Fase


27 de agosto
Data-limite para envio, pelas escolas, do documento indicativo do nº de alunos classificados e o cartão-resposta da 1ª Fase de cada um desses alunos.


05 de outubro*
Divulgação dos Classificados com informação sobre o local das provas - 2ª Fase


20 de outubro (sábado): 14:30 h (Horário de Brasília)
Provas da 2ª Fase


10 de dezembro
Divulgação dos Premiados


ALUNOS DA ESCOLA PREMIADOS EM 2006

Do Rio de janeiro, somente 25 alunos do nível 1 passaram nas duas fases da Obmep, sendo que, apenas 8 eram de escolas do município. Os demais, todos, oriundos do Colégio Militar, do Colégio Pedro II e do Cap da UFRJ.
Nossa escola teve um premiado:

FERNANDO MARQUES DE OLIVEIRA
E.M. ABRAHAO JABOUR
RIO DE JANEIRO
RJ


PROVA DE 2006 - NÍVEL 1 -PARA ESTUDAR




1. Em um tanque há 4000 bolinhas de pingue-pongue. Um menino começou a retirar as bolinhas, uma por uma, com velocidade constante, quando eram 10h. Após 6 horas, havia no tanque 3520 bolinhas. Se o menino continuasse no mesmo ritmo, quando o tanque ficaria com 2000 bolinhas?
A) às 11h do dia seguinte
B) às 23h do mesmo dia
B) às 4h do dia seguinte
D) às 7h do dia seguinte
E) às 9h do dia seguinte

2. O gráfico a seguir apresenta informações sobre o impacto causado por 4 tipos de monocultura ao solo. Para cada tipo de monocultura, o gráfico mostra a quantidade de água, em litros, e a de nutrientes (nitrogênio, fósforo e potássio), em quilogramas, consumidos por hectare para a produção de 1kg de grãos de soja ou 1kg de milho ou 1kg de açúcar ou 1kg de madeira de eucalipto. Sobre essas monoculturas, pode-se afirmar que:
A) O eucalipto precisa de cerca de 1/3 da massa de nutrientes necessários de que a cana-de-açúcar precisa para se desenvolver.
B) O eucalipto é a que mais seca e empobrece o solo, causando desequilíbrio ambiental.
C) A soja é cultura que mais precisa de nutrientes.
D) O milho precisa do dobro do volume de água de que precisa a soja.
E) A cana-de-açúcar é a que necessita do ambiente mais úmido para crescer.

3. Um time de futebol ganhou 8 jogos mais do que perdeu e empatou 3 jogos menos do que ganhou, em 31 partidas jogadas. Quantas partidas o time venceu?
A) 11 B) 14 C) 15 D) 17 E) 23


4. Efetuando as operações indicadas na expressão



obtemos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

5. Quantos números de três algarismos ímpares distintos são divisíveis por 3?
A) 18 B) 24 C) 28 D) 36 E) 48

6. Uma empresa de telefonia celular oferece planos mensais de 60 minutos a um custo mensal de R$ 52,00, ou seja, você pode falar durante 60 minutos no seu telefone celular e paga por isso exatamente R$ 52,00. Para o excedente, é cobrada uma tarifa de R$ 1,20 cada minuto. A mesma tarifa por minuto excedente é cobrada no plano de 100 minutos, oferecido a um custo mensal de R$ 87,00. Um usuário optou pelo plano de 60 minutos e no primeiro mês ele falou durante 140 minutos. Se ele tivesse optado pelo plano de 100 minutos, quantos reais ele teria economizado?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

7. Quantos triângulos isósceles têm como vértices os vértices do pentágono regular desenhado ao lado?
A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25
8. Dos números a seguir, qual é o único que pode ser escrito como produto de quatro naturais consecutivos?
A) 712 B) 548 C) 1026 D) 1456 E) 1680

9. Ao redor de um grande lago existe uma ciclovia de 45 quilômetros de comprimento, na qual sempre se retorna ao ponto de partida se for percorrida num único sentido. Dois amigos partem de um mesmo ponto com velocidades constantes de 20 km por hora e 25 km por hora, respectivamente, em sentidos opostos. Quando se encontram pela primeira vez, o que estava correndo a 20 km por hora aumenta para 25 km por hora e o que estava a 25 km por hora diminui para 20 km por hora. Quanto tempo o amigo que chegar primeiro ao ponto de partida deverá esperar pelo outro?
A) nada B) 10 min C) 12 min D) 15 min E) 18 min

10. Num relógio digital, as horas são exibidas por meio de quatro algarismos. Por exemplo, ao mostrar 00:00 sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59 sabemos que falta um minuto para meia-noite. Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados são todos pares?
A) 60 B) 90 C) 105 D) 180 E) 240

11. São dadas duas tiras retangulares de papel com 20 cm de comprimento, uma com 5 cm de largura e outra com 11 cm de largura. Uma delas foi colada sobre a outra, perpendicularmente, de modo a formar a figura ilustrada ao lado. Qual é o perímetro dessa figura, em centímetros?

A) 50 B) 60 C) 80 D) 100
E) 120

12. Seis amigos planejam viajar e decidem fazê-lo em duplas, cada uma utilizando um meio de transporte diferente, dentre os seguintes: avião, trem e carro. Alexandre acompanha Bento. André viaja de avião. Carlos não acompanha Dário nem faz uso do avião. Tomás não anda de trem. Qual das afirmações a seguir é correta?
A) Bento vai de carro e Carlos vai de avião.
B) Dário vai de trem e André vai de carro.
C) Tomás vai de trem e Bento vai de avião.
D) Alexandre vai de trem e Tomás vai de carro.
E) André vai de trem e Alexandre vai de carro.

13. Usando pastilhas de cerâmica preta na forma de quadradinhos foi composta uma decoração numa parede, mostrada parcialmente abaixo:
Quantas pastilhas foram empregadas em toda a decoração considerando-se que na última peça montada foram utilizadas 40 pastilhas?
A) 60 B) 68 C) 81 D) 100 E) 121


14. Sara foi escrevendo nas casas de um tabuleiro 95 por 95 os múltiplos positivos de 4, em ordem crescente, conforme a figura a seguir.

4
8
12
16
20
¼
376
380
760
756
752
748
744
¼
388
384
764
®
®
®
®
¼
®
®
¬
¬
¬
¬
¬
¼
¬
¬






























U

O número que Sara escreveu onde se encontra a letra U é:
A) 35192 B) 35196 C) 36100 D) 36104 E) 36108

15. O desenho à direita representa dois quadrados menores congruentes de lado 20 e um quadrado maior. O vértice O é o único ponto comum aos dois quadrados menores e é o centro do quadrado maior. Os vértices A, O e B estão alinhados e a área da região do quadrado maior não pintada é igual a 36% da área de toda a região pintada. Qual é a área do quadrado maior?
A) 420 B) 496 C) 576 D) 640 E) 900

16. Um certo número inteiro positivo, quando dividido por 15 dá resto 7. Qual é a soma dos restos das divisões desse número por 3 e por 5?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

17. No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é 3844. Quantos anos Neto completa em 2006?
A) 55 B) 56 C) 60 D) 62 E) 108

18. A figura a seguir representa um Tangram, quebra-cabeças chinês formado por 5 triângulos, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Sabendo que a área do Tangram a seguir é 64 cm2, qual é a área, em cm2, da região sombreada?
A) 7,6 B) 8 C) 10,6 D) 12 E) 21,3

19. As permutações da palavra BRASIL foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de seis letras em um dicionário. A 361ª palavra nessa lista é:
A) BRISAL B) SIRBAL C) RASBIL D) SABRIL E) LABIRS

20. No planeta POT o número de horas por dia é igual a número de dias por semana, que é igual ao número de semanas por mês, que é igual ao número de meses por ano. Sabendo que em POT há 4096 horas por ano, quantas semanas há num mês?
A) 8 B) 12 C) 64 D) 128 E) 256

XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
PRIMEIRA FASE – NÍVEL 1 (5a. ou 6a. séries)
GABARITO

GABARITO NÍVEL 1

1) A
6) D
11) C
16) B
2) A
7) B
12) D
17) C
3) B
8) E
13) E
18) D
4) D
9) A
14) C
19) E
5) B
10) C
15) C
20) A

· Cada questão da Primeira Fase vale 1 ponto. (Total de pontos no Nível 1 = 20 pontos).
· Aguarde a publicação da Nota de Corte de promoção à Segunda Fase no site http://www.obm.org.br/

1) (A) Em 6h de trabalho foram retiradas bolinhas e como a velocidade de retirada é constante, saem bolinhas por hora. Para que 2000 bolinhas saiam do tanque são necessárias horas. Portanto o tanque ficou com 2000 bolinhas às 11h do dia seguinte.

2) (A) O eucalipto precisa de cerca de 600 kg de nutrientes por hectare, aproximadamente 1/3 da massa de nutrientes necessários, mais ou menos 1800 kg, para a cana-de-açúcar se desenvolver.

3) (B) Seja n o número de partidas que o time venceu. Então perdeu n – 8 e empatou n – 3 jogos. Portanto, , isto é, o time venceu 14 partidas.

4) (D) . A soma dos algarismos do número 4012 é 7.

5) (B) Os algarismos ímpares são 1, 3, 5, 7 e 9. Para que o número seja divisível por 3, a soma dos seus 3 algarismos deve ser múltiplo de 3. Os conjuntos de três algarismos nessas condições são {1,3,5}, {3,5,7}, {5,7,9} e {1,5,9}. Com cada um desses conjuntos podem-se formar seis números diferentes. Por exemplo, para o primeiro, temos os números 135, 153, 315, 351, 513 e 531. Portanto, há números. Outra solução: o resto da divisão dos algarismos ímpares por 3 é igual a 0 (no caso de 3 e 9) ou 1 (no caso de 1 e 7) ou 2 (no caso do 5). Para que a soma de três desses algarismos diferentes dê um número divisível por 3, um deve ter resto 0, um deve ter resto 1 e um deve ter resto 2; logo eles podem ser escolhidos de maneiras diferentes e, para cada escolha podemos ordenar os algarismos de maneiras diferentes. Logo, a quantidade de números nas condições dadas é igual a .

6) (D) O usuário pagou reais; no plano de 100 minutos teria pago , ou seja, teria economizado 148 – 135 = 13 reais.
7) (B) Sejam A,B,C,D,E os vértices do pentágono. Para cada um desses vértices podemos contar dois triângulos isósceles cujos vértices coincidem com os vértices do pentágono, e esse vértice é oposto à base, conforme desenho abaixo (por exemplo, o vértice A é oposto às respectivas bases dos triângulos isósceles ACD e ABE. Nota: um triângulo isósceles tem dois lados congruentes e o terceiro lado é chamado base.) Como há 5 vértices, concluímos que existem triângulos nas condições dadas. Outra solução: três vértices do pentágono determinam sempre um triângulo isósceles. Portanto o número de triângulos isósceles é igual ao número de formas pelas quais podemos escolher três vértices do pentágono, igual a .

8) (E) Entre quatro números naturais consecutivos há sempre um múltiplo de 3 e um múltiplo de 4. O produto desses quatro números é múltiplo de 3, logo a soma de seus algarismos é divisível por 3 e, além disso, é múltiplo de 4, isto é, seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4. O único número nessas condições é .

9) (A) O intervalo de tempo entre a partida e o primeiro encontro é igual ao intervalo de tempo entre o primeiro encontro e o segundo encontro, no ponto de partida. Isso acontece porque ao se inverterem as velocidades, a situação seria a mesma que se cada um deles retornasse ao ponto de partida pelo caminho que veio, com a mesma velocidade. Portanto, eles chegarão no mesmo instante, ou seja, o tempo que um irá esperar pelo outro será igual a 0.

10) (C) As horas possíveis são 00, 02, 04, 06, 08, 20 e 22, totalizando 7 possibilidades. Para cada uma dessas horas, os minutos podem ser 00, 02,04,06,08,..., 40, 42, ..., 48, etc, num total de possibilidades. Portanto, o número de vezes em que o relógio exibe apenas algarismos pares é .

11) (C) Traçando-se retas paralelas aos lados, verificamos que o perímetro da figura é o mesmo que o de um quadrado de lado 20 cm , ou seja, 80 cm.

12) (D) Se Alexandre não vai de carro e acompanha Bento, que não vai de avião, então ambos vão de trem. Carlos não acompanha Dário e não anda de avião, logo é companheiro de Tomás, que não anda de trem; assim, ambos vão de carro. André, que viaja de avião, é companheiro de Dário; logo, ambos vão de avião. Portanto, Alexandre vai de trem e Tomás vai de carro.

13) (E) Seja n o número de quadradinhos para formar um lado de uma peça. Então, são necessários quadradinhos para formar a peça inteira. Na última peça da decoração temos . Note que para contar o número de quadradinhos utilizados basta observar que cada peça da esquerda se encaixa na da direita. Se encaixarmos todas, teremos um quadrado completo de lado igual a 11 quadradinhos. Portanto, o número de pastilhas utilizadas foi .

14) (C) O tabuleiro contém casas. Nas linhas ímpares, a seqüência é crescente e nas linhas pares, é decrescente. Portanto, na 95a linha, a última casa da direita apresenta o maior múltiplo de 4 no tabuleiro, ou seja, Sara escreveu na casa U o número .

15) (C) Como os quadrados pequenos dividem o maior em quatro quadriláteros congruentes, a área pintada é igual à soma das áreas dos dois quadrados menores, ou seja, 800. Como a área pintada do quadrado maior é igual à sua área não pintada, concluímos que a área do quadrado maior é igual a 72% da área total pintada, ou seja, .

16) (B) Seja . Como , concluímos que o resto da divisão de A por 3 é igual ao resto da divisão de 7 por 3, ou seja, 1. De forma análoga, o resto da divisão de A por 5 é o mesmo que o da divisão de 7 por 5, ou seja, igual a 2. A soma desses restos é igual a 1 + 2 = 3.

17) (C) Se x era a idade de Neto no final de 1994, então o ano em que nasceu é 1994 – x ; de forma análoga, o ano em que sua avó nasceu é 1994 – 2x. Assim, temos . Portanto, Neto completa em 2006 a idade de anos.

18) (D) Colocando o Tangram sobre uma malha quadriculada, a região sombreada ocupa 3 quadradinhos da malha e sua área é, portanto, da área do Tangram, ou seja, cm2.
19) (E) A palavra BRASIL tem 6 letras diferente. Fixando a primeira letra à esquerda, restam 5 letras. O número de palavras que se obtém permutando-se essas 5 letras é . Portanto, após fixar à esquerda as letras A, B e I, teremos listado palavras. Obedecendo à ordem alfabética, a próxima letra a ser fixada é L; escrevendo as demais letras em ordem alfabética, teremos a palavra LABIRS.





20) (A) Supondo que x seja o número de horas por dia, então x também é o número de dias por semana, o número de semanas por mês e o número de meses por ano. Logo, o número de horas por ano é . Portanto o número de semanas por mês é 8.


XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Primeira Fase – Nível 2
(7a. ou 8a. séries)
Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de :
BA – ES – RS – RN – PA – PE – PI – SC

10 de junho de 2006
A duração da prova é de 3 horas.
Cada problema vale 1 ponto.
Não é permitido o uso de calculadoras nem consultas a notas ou livros.
Você pode solicitar papel para rascunho.
Entregue apenas a folha de respostas.

1. Efetuando as operações indicadas na expressão

obtemos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

2. São dadas duas tiras retangulares de papel com 20 cm de comprimento, uma com 5 cm de largura e outra com 11 cm de largura. Uma delas foi colada sobre a outra, perpendicularmente, de modo a formar a figura ilustrada ao lado. O perímetro dessa figura, em centímetros é:
A) 50
B) 60
C) 80
D) 100
E) 120
3. Se um número de dois dígitos é 5 vezes a soma de seus dígitos, então o número formado pela troca dos dígitos é a soma dos dígitos multiplicada por:
A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7

4. Ao redor de um grande lago existe uma ciclovia de 45 quilômetros de comprimento, na qual sempre se retorna ao ponto de partida se for percorrida num único sentido. Dois amigos partem de um mesmo ponto com velocidades constantes de 20 km por hora e 25 km por hora, respectivamente, em sentidos opostos. Quando se encontram pela primeira vez, o que estava correndo a 20 km por hora aumenta para 25 km por hora e o que estava a 25 km por hora diminui para 20 km por hora. Quanto tempo o amigo que chegar primeiro ao ponto de partida deverá esperar pelo outro?
A) nada B) 10 min C) 12 min D) 15 min E) 18 min

5. Na figura, AB = AC, AE = AD e o ângulo BAD mede 30o. Então o ângulo x mede:
A)10o B) 20o C) 15o D) 30o E) 5o

6. A soma de três números naturais consecutivos é igual ao produto desses três números. A soma dos quadrados desses números é:
A) 14 B) 15 C) 18 D) 24 E) 36

7. No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é 3844. Em 2006 Neto fará:
A) 55 anos B) 56 anos C) 60 anos D) 62 anos E) 108 anos

8. Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.
A medida do ângulo x é:
A) 39º B) 41º C) 43º D) 44º E) 46º

9. Sejam a, b e c inteiros e positivos. Entre as opções abaixo, a expressão que não pode representar o número 24 é:
A) ab3 B) a2b3 C) D) ab2c3 E)

10. O número de quadrados que podem ser construídos com vértices nos pontos da figura abaixo é:


A) 18 B) 14 C) 9 D) 20 E) 10

11. Seis amigos planejam viajar e decidem fazê-lo em duplas, cada uma utilizando um meio de transporte diferente, dentre os seguintes: avião, trem e carro. Alexandre acompanha Bento. André viaja de avião. Carlos não acompanha Dário nem faz uso do avião. Tomás não anda de trem. Qual das afirmações a seguir é correta?
A) Bento vai de carro e Carlos vai de avião.
B) Dário vai de trem e André vai de carro.
C) Tomás vai de trem e Bento vai de avião.
D) Alexandre vai de trem e Tomás vai de carro.
E) André vai de trem e Alexandre vai de carro.
12. Um triângulo eqüilátero e um hexágono regular tem o mesmo perímetro. A razão entre a área do triângulo e a área do hexágono é:
A) B) 1 C) D) E)

13. O máximo divisor comum de todos os termos da seqüência , é:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

14. Samuel possui três irmãos a mais do que irmãs. O número de irmãos de Samila, irmã de Samuel, é igual ao dobro do número de suas irmãs. O número de filhos (homens e mulheres) que possui o pai de Samuel e Samila é:
A) 10 B) 13 C) 16 D) 17 E) 20

15. A figura a seguir representa um Tangram, quebra-cabeças chinês formado por 5 triângulos, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Sabendo que a área do Tangram a seguir é 64 cm2, qual é a área, em cm2, da região sombreada?
A) 7,6 B) 8 C) 10,6 D) 12 E) 21,3

16. João escreveu todos os números com menos de 4 dígitos usando apenas os algarismos 1 e 2 numa folha de papel e depois somou todos eles. O valor obtido foi:
A) 2314 B) 3000 C) 1401 D) 2316 E) 1716

17. Sejam a, b e c números reais positivos cuja soma é 1. Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo, podemos concluir que
A) e e B) e e
C) e e D) e e
E) e e

18. O número de soluções inteiras e positivas do sistema abaixo é:


A) 45 B) 23 C) 24 D) 25 E) 72


19. Um número com dois dígitos distintos e não nulos é chamado de bonito se o dígito das dezenas é maior do que o dígito das unidades. A quantidade de números bonitos é:
A) 72 B) 36 C) 35 D) 64 E) 56

20. O professor Piraldo aplicou uma prova para seus cinco alunos e, após corrigi-las, digitou as notas em uma planilha eletrônica que calcula automaticamente a média das notas à medida que elas são digitadas. Piraldo notou que após digitar cada nota a média calculada pela planilha era um número inteiro. Se as notas dos cinco estudantes são, em ordem crescente, 71, 76, 80, 82 e 91, a última nota que Piraldo digitou foi:
A) 71 B) 76 C) 80 D) 82 E) 91

21. Simplificando a expressão:
. . .
obtemos:
A) B) C) 1 D) 2 + E) 2 +

22. Ludmilson percebeu que para numerar as páginas de um livro, consecutivamente, a partir da página 2, foram usados 2006 algarismos. O número de páginas do livro de Ludmilson é:
A)701 B) 702 C) 703 D) 704 E) 705

23. Sejam números reais não nulos tais que . O valor de
é:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

24. Num relógio digital, as horas são exibidas por meio de quatro algarismos. Por exemplo, ao mostrar 00:00 sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59 sabemos que falta um minuto para meia-noite. Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados são todos pares?
A) 60 B) 90 C) 105 D) 180 E) 240

25. Na figura a seguir, ABC é um triângulo qualquer e ACD e AEB são triângulos eqüiláteros. Se F e G são os pontos médios de EA e AC, respectivamente, a razão é:



A) B) 1
C) D) 2
E) Depende das medidas dos lados de ABC.

XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
PRIMEIRA FASE – NÍVEL 2 (7a. e 8a. Ensino Fundamental)
GABARITO

GABARITO NÍVEL 2

1) D
6) A
11) D
16) C
21) C
2) C
7) C
12) C
17) B
22) E
3) C
8) A
13) E
18) C
23) D
4) A
9) B
14) C
19) B
24) C
5) C
10) D
15) D
20) C
25) D

· Cada questão da Primeira Fase vale 1 ponto. (Total de pontos no Nível 2 = 25 pontos).
· Aguarde a publicação da Nota de Corte de promoção à Segunda Fase no site http://www.obm.org.br/

1) (D) . A soma dos algarismos
do número 4012 é 7.

2) (C) Traçando-se retas paralelas aos lados, verificamos que o perímetro da figura é o mesmo que o de um quadrado de lado 20 cm , ou seja, 80 cm.

3) (C)

4) (A) O intervalo de tempo entre a partida e o primeiro encontro é igual ao intervalo de tempo entre o primeiro encontro e o segundo encontro, no ponto de partida. Isso acontece porque ao se inverterem as velocidades, a situação seria a mesma que se cada um deles retornasse ao ponto de partida pelo caminho que veio, com a mesma velocidade. Portanto, eles chegarão no mesmo instante, ou seja, o tempo que um irá esperar pelo outro será igual a 0.

5) (C)

6) (A) Sejam n – 1, n e n + 1 os três números inteiros consecutivos. Temos
Portanto os números são 1, 2, 3 e a soma dos quadrados dos três números consecutivos é .

7) (C) Se x era a idade de Neto no final de 1994, então o ano em que nasceu é 1994 – x ; de forma análoga, o ano em que sua avó nasceu é 1994 – 2x. Assim, temos . Portanto, Neto completa em 2006 a idade de anos.

8) (A) Trace retas horizontais pelos vértices mais baixos dos três quadrados:
Então os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da esquerda são 60º e 30º, respectivamente; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado do meio são respectivamente 180º – 126º – 30º = 24º e 90º – 24º = 66º; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da direita são respectivamente 180º – 75º – 66º = 39º e 90º – 39º = 51º. Enfim, no triângulo retângulo com um dos ângulos igual a x, temos x = 90º – 51º = 39º.

9) (B) O número 24 = 233 tem somente dois divisores cubos perfeitos: 1 e 8. Assim, se é possível representar 24 na forma a2b3, então b = 1 ou b = 2 e, portanto, a2 = 24 ou a2 = 3, o que é impossível.
Além disso, na alternativa a podemos tomar a = 3 e b = 2; na alternativa c, podemos tomar a = 24 e b = c = 1; na alternativa d, podemos tomar a = 3, b = 1 e c = 2; e na alternativa e, podemos tomar
a = 2, b = 3 e c = 1.

10) (D)
(veja as figuras acima)
Contagem:
9 quadradinhos 1 ´ 1
4 quadrados 2 ´ 2, mas cada um dele tem um inscrito, então o total é 4 ´ 2 = 8
1 quadrado 3 ´ 3, mas com 2 quadrados inscritos, então o total é 3
Total: 9 + 8 + 3 = 20




11) (D) Se Alexandre não vai de carro e acompanha Bento, que não vai de avião, então ambos vão de trem. Carlos não acompanha Dário e não anda de avião, logo é companheiro de Tomás, que não anda de trem; assim, ambos vão de carro. André, que viaja de avião, é companheiro de Dário; logo, ambos vão de avião. Portanto, Alexandre vai de trem e Tomás vai de carro.

12) (C) , pois o lado do hexágono é metade do lado do triângulo.
Existe uma maneira bem geométrica de resolver, basta observar a figura!

13) (E) Sabemos que é divisível por 6 para todo , e esse é o máximo divisor comum porque

14) (C) Seja H o número de filhos homens e M o número de filhas mulheres. As afirmações são equivalentes à H – 1 = M + 3 e H = 2(M – 1). Resolvendo o sistema, temos: M = 6 e H = 10, logo a quantidade de filhos é 16.

15) (D) Colocando o Tangram sobre uma malha quadriculada, a região sombreada ocupa 3 quadradinhos da malha e sua área é, portanto, da área do Tangram, ou seja, cm2.


16) (C) Vamos contar primeiro quantos números desse tipo existem:
com 1 dígito
com 2 dígitos
com 3 dígitos
Cada número desejado pode ser pareado com outro trocando os dígitos 2 por 1 (e vice versa). Por exemplo, 122 e 211. A soma dos números em cada par é algo do tipo: 33..3.
Assim, a soma total é
.

17 (B) Pela desigualdade triangular, os números reais a, b e c são medidas dos lados de um triângulo se, e somente se,
18 (C) Devemos ter c(c + 1) = 30 então c = 5. Agora para a + b = 25 temos 24 soluções diferentes para o par (a, b). Daí, a resposta correta seria 24.

19 (B) 1°) Existem 9 ´ 8 números de dois dígitos distintos, exatamente metade deles é bonito e a outra metade não é. Logo existem 9 ´ 8/2 = 36 números bonitos.

2°) Existem 8 números bonitos que terminam em 1, 7 que terminam em 2, ..., 1 que termina em 8. Logo existem: 8 + 7 + ... + 1 = 36 números bonitos.

20 (C) A soma de todas as notas é 71 + 76 + 80 + 82 + 91 = 400. A média de k números é inteira quando a soma dos k números é divisível por k. Assim, como 400 é divisível por 4 e a soma das quatro primeiras notas deve ser divisível por 4, o último número a ser digitado é múltiplo de 4, ou seja, é 76 ou 80.
Se o último número é 76, a soma dos outros quatro números é 400 – 76 = 324, que é múltiplo de 3. Seguindo um raciocínio análogo ao anterior, obtemos que o penúltimo número a ser digitado é múltiplo de 3. Mas nenhum dos cinco números é múltiplo de 3, absurdo.
Logo o último número é 80 (de fato, podem ocorrer as “ordens de digitação” 76, 82, 91, 71, 80 e 82, 76, 91, 71, 80).

21 (C) Multipliquemos primeiro os dois últimos radicais
.
Obtemos :
Agora multipliquemos este fator encontrado pelo segundo fator da expressão
.
Obtemos:
Finalmente multipliquemos este resultado pelo primeiro fator da expressão
. = 1


22 (E) 2 a 9 – 8 números – 8 algarismos
10 – 99 – 90 números – 180 algarismos
Ainda restam 1818 algarismos e portanto ainda conseguimos formar 606 números de 3 algarismos. Assim, o livro de Ludmilson tem 9 + 90 + 606 = 705 páginas.

23 (D) Se , então . Por outro lado,
.

24 (C) As horas possíveis são 00, 02, 04, 06, 08, 20 e 22, totalizando 7 possibilidades. Para cada uma dessas horas, os minutos podem ser 00, 02,04,06,08,..., 40, 42, ..., 48, etc, num total de possibilidades. Portanto, o número de vezes em que o relógio exibe apenas algarismos pares é .

25) (D)
, com razão de semelhança 2.
Portanto